1) Intégrales de Riemann
L'étude des intégrales de Riemann, intégrales des fonctions \(t \mapsto \dfrac{1}{t^{\alpha}} (\alpha \in \mathbb{R})\), sur \(]0;1]\) ou \([1;+\infty[\) est fondamentale car, jointe aux théorèmes de comparaison, elle constitue le principal outil dans l'étude des intégrales impropres des fonctions positives et donc, compte tenu de la convergence absolue, des intégrales impropres en général.
Théorème:
Soit \( \alpha \in \mathbb{R} \):
• l'intégrale \( \displaystyle \int_0^1 \dfrac{dt}{t^{\alpha}} \) est convergente si \(\alpha < 1\), divergente si \( \alpha \geq 1 \).
• l'intégrale \( \displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac{dt}{t^{\alpha}} \) est convergente si \(\alpha > 1\), divergente si \( \alpha \leq 1 \).
a. Étude de l'intégrale \( \int_0^1 \dfrac{dt}{t^{\alpha}} \)
Pour \( \alpha \neq 1 \), et \( x > 0 \), on a: \( \int_x^1 \dfrac{dt}{t^{\alpha}}= \dfrac{1}{1-\alpha} (1-x^{1-\alpha}) \);
• si \( \alpha < 1 \), \(\displaystyle \lim_{x \to 0} x^{1-\alpha}=0\), l'intégrale converge;
• si \( \alpha > 1 \), \(\displaystyle \lim_{x \to 0} x^{1-\alpha}=+\infty\), l'intégrale diverge;
Pour \( \alpha = 1 \), l'intégrale \( \int_x^1 \dfrac{dt}{t} = - \ln x \) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(0\); l'intégrale diverge.
b. Étude de l'intégrale \( \int_1^{+\infty} \dfrac{dt}{t^{\alpha}} \)
Pour \( \alpha \neq 1 \), et \( x > 0 \), on a: \( \int_1^x \dfrac{dt}{t^{\alpha}}= \dfrac{1}{1-\alpha} (x^{1-\alpha}-1) \);
• si \( \alpha < 1 \), \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^{1-\alpha}=+\infty\), l'intégrale diverge;
• si \( \alpha > 1 \), \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^{1-\alpha}=0\), l'intégrale converge;
Pour \( \alpha = 1 \), l'intégrale \( \int_1^x \dfrac{dt}{t} = \ln x \) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\); l'intégrale diverge.
Pour \( \alpha \neq 1 \), et \( x > 0 \), on a: \( \int_x^1 \dfrac{dt}{t^{\alpha}}= \dfrac{1}{1-\alpha} (1-x^{1-\alpha}) \);
• si \( \alpha < 1 \), \(\displaystyle \lim_{x \to 0} x^{1-\alpha}=0\), l'intégrale converge;
• si \( \alpha > 1 \), \(\displaystyle \lim_{x \to 0} x^{1-\alpha}=+\infty\), l'intégrale diverge;
Pour \( \alpha = 1 \), l'intégrale \( \int_x^1 \dfrac{dt}{t} = - \ln x \) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(0\); l'intégrale diverge.
b. Étude de l'intégrale \( \int_1^{+\infty} \dfrac{dt}{t^{\alpha}} \)
Pour \( \alpha \neq 1 \), et \( x > 0 \), on a: \( \int_1^x \dfrac{dt}{t^{\alpha}}= \dfrac{1}{1-\alpha} (x^{1-\alpha}-1) \);
• si \( \alpha < 1 \), \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^{1-\alpha}=+\infty\), l'intégrale diverge;
• si \( \alpha > 1 \), \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^{1-\alpha}=0\), l'intégrale converge;
Pour \( \alpha = 1 \), l'intégrale \( \int_1^x \dfrac{dt}{t} = \ln x \) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\); l'intégrale diverge.
2) Intégrales de Bertrand
Les intégrales de Bertrand sont les intégrales impropres de la forme :
\(\displaystyle \int \dfrac{dx}{x^{\alpha} \ (\ln x)^{\beta}}\) où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des réels.
Les propriétés suivantes donnent une condition nécessaire et suffisante de convergence de ces intégrales :
Propriété 1:
Soient \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) et \(b > 1\).
\(\displaystyle \int_b^{+\infty} \dfrac{dx}{x^{\alpha} \ (\ln x)^{\beta}}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\) ou (\(\alpha = 1\) et \(\beta > 1\)).
La fonction \(f:x \mapsto \dfrac{1}{x^{\alpha} \ (\ln x)^{\beta}}\) est continue, positive sur \([b;+\infty[\) (car \(b > 1\)). Elle est donc intégrable sur tout segment inclus dans \([b;+\infty[\).
Étudions son intégrabilité au voisinage de \(+\infty\). Pour cela, on va chercher à la comparer (au voisinage de \(+\infty\)) avec une fonction de Riemann.
Soit \(\gamma \in \mathbb{R}\), alors:
\(x^{\gamma} f(x)=\dfrac{1}{x^{\alpha - \gamma}(\ln x)^{\beta}} \).
Ainsi, si \(\gamma < \alpha\), on a \( f(x)=\underset{x \to +\infty}{o}(\dfrac{1}{x^{\gamma}}) \) et on pourra conclure que \(f\) est intégrable si \(\gamma > 1\).
On va donc distinguer les cas selon si \(\alpha > 1\) ou non.
• Cas \(\alpha > 1\):
Alors \( f(x)=\underset{x \to +\infty}{o}(\dfrac{1}{x^{\gamma}}) \) avec par exemple \(\gamma = \dfrac{1+\alpha}{2}> 1\), donc \(\displaystyle \int_b^{+\infty} \dfrac{dx}{x^{\alpha} \ (\ln x)^{\beta}}\) converge (quelque soit \(\beta\)).
• Cas \(\alpha = 1\):
Alors \(f(x)=\dfrac{1}{x} (\ln x)^{-\beta}\) qui est de la forme \(u' u^n\)
\(\displaystyle \int_b^{+\infty} \dfrac{dx}{x \ (\ln x)^{\beta}} = \bigl[ \dfrac{(\ln x)^{-\beta +1}}{-\beta +1} \bigr]_b^{+\infty} \) qui ne peut exister que si \(\beta \neq 1\), et aura une limite finie seulement si \(\beta > 1\).
Si \(\alpha = \beta = 1\), alors \(f(x)=\dfrac{1/x}{\ln x} \) qui est de la forme \(u'/u\) et \(\displaystyle \int_b^{+\infty} \dfrac{1/x dx}{\ln x} = \bigl[ \ln (\ln x) \bigr]_b^{+\infty} \), intégrale qui diverge.
• Cas \(\alpha < 1\):
\(\dfrac{1}{x f(x)}=\dfrac{(\ln x)^{\beta}}{x^{1-\alpha}} \xrightarrow[+\infty]{} 0 \), donc \( \dfrac{1}{x}={o}(f(x)) \), donc \(\displaystyle \int_b^{+\infty} \dfrac{dx}{x^{\alpha} \ (\ln x)^{\beta}}\) diverge.
Étudions son intégrabilité au voisinage de \(+\infty\). Pour cela, on va chercher à la comparer (au voisinage de \(+\infty\)) avec une fonction de Riemann.
Soit \(\gamma \in \mathbb{R}\), alors:
\(x^{\gamma} f(x)=\dfrac{1}{x^{\alpha - \gamma}(\ln x)^{\beta}} \).
Ainsi, si \(\gamma < \alpha\), on a \( f(x)=\underset{x \to +\infty}{o}(\dfrac{1}{x^{\gamma}}) \) et on pourra conclure que \(f\) est intégrable si \(\gamma > 1\).
On va donc distinguer les cas selon si \(\alpha > 1\) ou non.
• Cas \(\alpha > 1\):
Alors \( f(x)=\underset{x \to +\infty}{o}(\dfrac{1}{x^{\gamma}}) \) avec par exemple \(\gamma = \dfrac{1+\alpha}{2}> 1\), donc \(\displaystyle \int_b^{+\infty} \dfrac{dx}{x^{\alpha} \ (\ln x)^{\beta}}\) converge (quelque soit \(\beta\)).
• Cas \(\alpha = 1\):
Alors \(f(x)=\dfrac{1}{x} (\ln x)^{-\beta}\) qui est de la forme \(u' u^n\)
\(\displaystyle \int_b^{+\infty} \dfrac{dx}{x \ (\ln x)^{\beta}} = \bigl[ \dfrac{(\ln x)^{-\beta +1}}{-\beta +1} \bigr]_b^{+\infty} \) qui ne peut exister que si \(\beta \neq 1\), et aura une limite finie seulement si \(\beta > 1\).
Si \(\alpha = \beta = 1\), alors \(f(x)=\dfrac{1/x}{\ln x} \) qui est de la forme \(u'/u\) et \(\displaystyle \int_b^{+\infty} \dfrac{1/x dx}{\ln x} = \bigl[ \ln (\ln x) \bigr]_b^{+\infty} \), intégrale qui diverge.
• Cas \(\alpha < 1\):
\(\dfrac{1}{x f(x)}=\dfrac{(\ln x)^{\beta}}{x^{1-\alpha}} \xrightarrow[+\infty]{} 0 \), donc \( \dfrac{1}{x}={o}(f(x)) \), donc \(\displaystyle \int_b^{+\infty} \dfrac{dx}{x^{\alpha} \ (\ln x)^{\beta}}\) diverge.
Propriété 2:
Soient \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) et \(a < 1\).
\(\displaystyle \int_0^{a} \dfrac{dx}{x^{\alpha} \ (\ln x)^{\beta}}\) converge si et seulement si \(\alpha < 1\) ou (\(\alpha = 1\) et \(\beta > 1\)).
On pose \(f:x \mapsto \dfrac{1}{x^{\alpha} \ \lvert \ln x \rvert ^{\beta}}\) est continue, positive sur \(]0;a]\) (car \(a < 1\)).
On effectue le changement de variable \(u=\dfrac{1}{x}\) dans l'intégrale:
\(\displaystyle \int_0^{a} \dfrac{dx}{x^{\alpha} \ \lvert \ln x \rvert ^{\beta}}=\int_{\tfrac{1}{a}}^{+\infty} \dfrac{u^{\alpha} }{\ \lvert \ln (1/u) \rvert ^{\beta}} \dfrac{1}{u²} du = \int_{\tfrac{1}{a}}^{+\infty} \dfrac{du}{u^{2-\alpha}\ \lvert \ln u \rvert ^{\beta}} \)
On se retrouve dans le premier cas, donc cette intégrale converge si et seulement si \(2-\alpha > 1\) ou (\(2-\alpha = 1\) et \(\beta >1\)), ce qui équivaut à \(\alpha < 1\) ou (\(\alpha = 1\) et \(\beta >1\)).
On effectue le changement de variable \(u=\dfrac{1}{x}\) dans l'intégrale:
\(\displaystyle \int_0^{a} \dfrac{dx}{x^{\alpha} \ \lvert \ln x \rvert ^{\beta}}=\int_{\tfrac{1}{a}}^{+\infty} \dfrac{u^{\alpha} }{\ \lvert \ln (1/u) \rvert ^{\beta}} \dfrac{1}{u²} du = \int_{\tfrac{1}{a}}^{+\infty} \dfrac{du}{u^{2-\alpha}\ \lvert \ln u \rvert ^{\beta}} \)
On se retrouve dans le premier cas, donc cette intégrale converge si et seulement si \(2-\alpha > 1\) ou (\(2-\alpha = 1\) et \(\beta >1\)), ce qui équivaut à \(\alpha < 1\) ou (\(\alpha = 1\) et \(\beta >1\)).
3) Intégrales de Wallis
3.1) Définition, premières propriétés
Les intégrales de Wallis sont les termes de la suite réelle \((W_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par :\(W_n=\displaystyle \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^n x \ dx\)
ou de façon équivalente (par le changement de variable \(x = \dfrac{\pi}{2} − t\)):
\(W_n=\displaystyle \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^n x \ dx\)
Posons \(x = \tfrac{\pi}{2} − t\), alors \(dx = -dt\) et \(\sin(\tfrac{\pi}{2} − t)=\cos(t)\). On obtient:
\(W_n= \int_{\tfrac{\pi}{2}}^0 -\cos^n t \ dt = \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^n x \ dx \).
\(W_n= \int_{\tfrac{\pi}{2}}^0 -\cos^n t \ dt = \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^n x \ dx \).
Les premiers termes de cette suite sont :
La suite \((W_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est strictement décroissante.
\(W_{n+1} - W_{n} = \displaystyle \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^n x (\sin x - 1) \ dx \)
Sur \([0;\frac{\pi}{2}]\) la fonction \(x \mapsto \sin^n x (\sin x - 1) \) est continue, négative et non identiquement nulle, donc \(W_{n+1} - W_{n} < 0\).
Sur \([0;\frac{\pi}{2}]\) la fonction \(x \mapsto \sin^n x (\sin x - 1) \) est continue, négative et non identiquement nulle, donc \(W_{n+1} - W_{n} < 0\).
3.2) Relation de récurrence, calcul des intégrales de Wallis
Une intégration par parties permet d'établir la relation de récurrence :\(W_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2} W_{n} \)
Posons:
\(u(x)=\sin^{n+1} x\) et \(v'(x)=\sin x\), alors:
\(u'(x)=(n+1)\cos x \sin^{n} x\) et \(v(x)=-\cos x\)
\(W_{n+2}=\bigl[-\cos x \sin^{n+1} x \bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}\) \(+ (n+1) \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \cos² x \sin^n x \ dx \)
\(W_{n+2}=0 + (n+1) \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} (1-\sin² x) \sin^n x \ dx \)
\(W_{n+2}=(n+1) (W_{n}-W_{n+2})\)
\(W_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2} W_{n} \)
\(u(x)=\sin^{n+1} x\) et \(v'(x)=\sin x\), alors:
\(u'(x)=(n+1)\cos x \sin^{n} x\) et \(v(x)=-\cos x\)
\(W_{n+2}=\bigl[-\cos x \sin^{n+1} x \bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}\) \(+ (n+1) \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \cos² x \sin^n x \ dx \)
\(W_{n+2}=0 + (n+1) \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} (1-\sin² x) \sin^n x \ dx \)
\(W_{n+2}=(n+1) (W_{n}-W_{n+2})\)
\(W_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2} W_{n} \)
De cette relation et des valeurs de \(W_{0}\) et \(W_{1}\), on tire une expression des termes de la suite, selon la parité de leur rang :
\(W_{2p}= \dfrac{\pi}{2} \displaystyle \prod_{k=1}^{p} \dfrac{2k-1}{2k} = \dfrac{\pi}{2} \dfrac{\binom{2p}{p}}{4^p} \)
\(W_{2p+1}= \displaystyle \prod_{k=1}^{p} \dfrac{2k}{2k+1} = \dfrac{1}{2p+1} \dfrac{4^p}{\binom{2p}{p}} \)
\(W_{2p} = \dfrac{2p-1}{2p} W_{2p-2} = \dfrac{2p-1}{2p} \ \dfrac{2p-3}{2p-2} W_{2p-4} \)
\(W_{2p} = \dfrac{2p-1}{2p} \ \dfrac{2p-3}{2p-2} \cdots \dfrac{1}{2} W_0\)
\(W_{2p} = \dfrac{\pi}{2} \displaystyle \prod_{k=1}^{p} \dfrac{2k-1}{2k} = \dfrac{\pi}{2} \dfrac{(2p)!}{(2^p p!)^2}\)
\(W_{2p} = \dfrac{\pi}{2} \dfrac{\binom{2p}{p}}{4^p} \)
\(W_{2p+1} = \displaystyle \prod_{k=1}^{p} \dfrac{2k}{2k+1} = \dfrac{(2^p p!)^2}{(2p+1)!} \)
\(W_{2p+1} = \dfrac{1}{2p+1} \dfrac{4^p}{\binom{2p}{p}} \)
\(W_{2p} = \dfrac{2p-1}{2p} \ \dfrac{2p-3}{2p-2} \cdots \dfrac{1}{2} W_0\)
\(W_{2p} = \dfrac{\pi}{2} \displaystyle \prod_{k=1}^{p} \dfrac{2k-1}{2k} = \dfrac{\pi}{2} \dfrac{(2p)!}{(2^p p!)^2}\)
\(W_{2p} = \dfrac{\pi}{2} \dfrac{\binom{2p}{p}}{4^p} \)
\(W_{2p+1} = \displaystyle \prod_{k=1}^{p} \dfrac{2k}{2k+1} = \dfrac{(2^p p!)^2}{(2p+1)!} \)
\(W_{2p+1} = \dfrac{1}{2p+1} \dfrac{4^p}{\binom{2p}{p}} \)
3.3) Un équivalent de la suite des intégrales de Wallis
La suite \((W_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est strictement décroissante, donc \(\forall n \in \mathbb{N}, W_{n+2} < W_{n+1} < W_{n} \).
De plus \(\forall n \in \mathbb{N}, W_{n} > 0\), donc \(\dfrac{W_{n+2}}{W_{n}} = \dfrac{n+1}{n+2} < \dfrac{W_{n+1}}{W_{n}} < 1 \).
Par le théorème des gendarmes, \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{W_{n+1}}{W_{n}} = 1\), autrement dit \( W_{n+1} \sim W_n\)
Puis, en étudiant \(W_n\) et \(W_{n + 1}\), on établit l'équivalent suivant : \( W_{n} \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}\).
Posons \(\forall n \in \mathbb{N}, U_{n}=(n+1) W_{n} W_{n+1} \), et montrons que cette suite est constante.
\(U_{n+1} = (n+2) W_{n+1} W_{n+2}\)
\(U_{n+1} = (n+1) W_{n} W_{n+1} = U_{n}\)
La suite \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est donc constante et \(U_n=U_0=\dfrac{\pi}{2}\).
On a obtenu \(\forall n \in \mathbb{N}, (n+1) W_{n} W_{n+1} = \dfrac{\pi}{2} \), or \( W_{n+1} \sim W_n\), donc:
\((n+1) W_{n} W_{n+1} \sim n W_n² \)
\(W_n² \sim \dfrac{\pi}{2} \), d'où: \( W_{n} \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}\).
\(U_{n+1} = (n+2) W_{n+1} W_{n+2}\)
\(U_{n+1} = (n+1) W_{n} W_{n+1} = U_{n}\)
La suite \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est donc constante et \(U_n=U_0=\dfrac{\pi}{2}\).
On a obtenu \(\forall n \in \mathbb{N}, (n+1) W_{n} W_{n+1} = \dfrac{\pi}{2} \), or \( W_{n+1} \sim W_n\), donc:
\((n+1) W_{n} W_{n+1} \sim n W_n² \)
\(W_n² \sim \dfrac{\pi}{2} \), d'où: \( W_{n} \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}\).
3.4) Produit (ou formule) de Wallis
On a \(\displaystyle \dfrac{\pi}{2} \dfrac{W_{2p+1}}{W_{2p}} =\displaystyle \dfrac{\displaystyle \prod_{k=1}^{p} \dfrac{2k}{2k+1}}{\displaystyle \prod_{k=1}^{p} \dfrac{2k-1}{2k}} = \prod_{k=1}^{p} \dfrac{4k^2}{4k^2-1} \)
Or \( W_{2p+1} \sim W_{2p}\), donc \(\displaystyle \dfrac{\pi}{2} = \lim_{p \to +\infty} \prod_{k=1}^{p} \dfrac{4k^2}{4k^2-1} \), d'où la formule de Wallis: \(\displaystyle \prod_{k=1}^{+\infty} \dfrac{4k^2}{4k^2-1} = \dfrac{\pi}{2} \)
Ce produit peut encore s'écrire: \(\dfrac{\pi}{2} = \displaystyle \prod_{k=1}^{+\infty} \dfrac{2k \times 2k}{(2k-1)(2k+1)} \), c'est-à-dire:
\(\dfrac{\pi}{2} = \displaystyle \dfrac{2}{1} \dfrac{2}{3} \dfrac{4}{3} \dfrac{4}{5} \dfrac{6}{5} \dfrac{6}{7} \dfrac{8}{7} \dfrac{8}{9} \cdots \dfrac{2n}{2n-1} \dfrac{2n}{2n+1} \cdots \)
4) Intégrale de Gauss
5) Intégrale de Dirichlet
6) Fonctions gamma, pi et digamma (ou psi)
Définitions:
Soit \(z \in \mathbb{C}\) de partie réelle strictement positive. On appelle fonction Gamma la fonction définie par:
\(\displaystyle \Gamma (z)= \int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} dt \).
On appelle fonction pi la fonction définie par:
\(\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)= \int_0^{+\infty} t^{z} e^{-t} dt \).
Quelques résultats importants:
➨\( \Gamma (z+1)= z \Gamma (z) \)
➨\(\forall n \in \mathbb{N}, \Gamma (n+1)=\Pi (n)=n!\)
➨\( \Gamma (\dfrac{1}{2})= \sqrt{\pi} \) et \(\Gamma (1)= 1\)
1)
\(\Gamma (x+1)= \int_0^{+\infty} t^{x} e^{-t} dt\).
Une intégration par parties (tabulaire), en posant:
\(u(x)=t^x\) et \( v'(x)=e^{-t} \), alors:
\(u'(x)=xt^{x-1}\) et \( v(x)=-e^{-t} \), d'où:
\(\Gamma (x+1)= \bigl[ -t^{x} e^{-t} \bigr]_0^{+\infty} + x\int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} dt\)
\(\Gamma (x+1)=x\Gamma (x) \)
2)
Pour \(n \in \mathbb{N} \), \(\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n.(n-1)\Gamma (n)=\) \(\cdots=n.(n-1)\cdots 1.\Gamma (1) \)
Or \( \Gamma (1)=\int_0^{+\infty} e^{-t} dt =1\), donc \(\forall n \in \mathbb{N}, \Gamma (n+1)=n!\).
3)
\(\Gamma (\dfrac{1}{2})= \int_0^{+\infty} t^{-\tfrac{1}{2}} e^{-t} dt\).
On effectue le changement de variable \(t=x^2\), alors \(dt=2xdx\), d'où:
\(\Gamma (\dfrac{1}{2})= 2 \int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx\) qui est l'intégrale de Gauss, d'où:
\(\Gamma (\dfrac{1}{2})= 2 \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}=\sqrt{\pi} \)
Remarque:
La fonction gamma est très importante pour les ingénieurs, car elle intervient dans le calcul de nombreuses transformées de Laplace.
1) Calculer la transformée de Laplace de la fonction \(f(t)=\dfrac{1}{\sqrt{t}}\).
\(F(p)=\int_0^{+\infty} f(t)e^{-pt} dt=\int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-pt}}{\sqrt{t}} dt\)
On effectue le changement de variable \(u=pt\), alors \(\sqrt{t}=\dfrac{\sqrt{u}}{\sqrt{p}} \) et \(du=pdt\), d'où:
\(F(p)=\int_0^{+\infty} \dfrac{\sqrt{p}}{\sqrt{u}} e^{-u} \dfrac{1}{p}du\)
\(F(p)=\dfrac{1}{\sqrt{p}} \int_0^{+\infty} u^{-\frac{1}{2}} e^{-u} du \)
\(F(p) = \dfrac{1}{\sqrt{p}} \Gamma (\dfrac{1}{2}) = \sqrt{\dfrac{\pi}{p}} \)
2) Calculer la transformée de Laplace de la fonction \(g(t)=t^{a-1}\) avec \(a>0\).
\(G(p)=\int_0^{+\infty} g(t)e^{-pt} dt=\int_0^{+\infty} t^{a-1} e^{-pt} dt\)
On effectue le changement de variable \(u=pt\), alors \(du=pdt\), d'où:
\(G(p)=\int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-u}}{p} \dfrac{u^{a-1}}{p^{a-1}}du\)
\(G(p)=\dfrac{1}{p^a} \int_0^{+\infty} u^{a-1} e^{-u} du=\dfrac{\Gamma (a)}{p^a} \)
Définition:
On appelle fonction digamma (ou psi) la fonction définie comme dérivée logarithmique de la fonction gamma:
\( \psi (z)= \dfrac{\Gamma '(z)}{\Gamma (z)} \).
Quelques résultats importants:
➨\( \psi (z+1)= \psi (z) + \dfrac{1}{z}\)
\( \Gamma (z+1)= z \Gamma (z) \), donc en dérivant et en divisant par \( \Gamma (z+1) \), on obtient:
\( \dfrac{\Gamma '(z+1)}{\Gamma (z+1)} = \dfrac{\Gamma '(z)}{\Gamma (z)} + \dfrac{1}{z} \), d'où:
\( \psi (z+1)= \psi (z) + \dfrac{1}{z}\)
7) La fonction bêta
La fonction bêta est définie pour tous nombres complexes \(x\) et \(y\) de parties réelles strictement positives par:
\(\displaystyle B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt\)
Quelques résultats importants:
➨\( B(x,y)= B(y,x)\) (autrement dit la fonction bêta est symétrique)
➨\( B(x,y)= \dfrac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}\)
8) Intégrale d'une fonction complexe
L'intégrale d'une fonction complexe sur un chemin \( (\gamma) \) est définie comme ceci:
\( \displaystyle \int_{(\gamma)} f(z) dz = \int_a^b f(z(t)) z'(t) dt \) \(= \displaystyle \int_a^b f(x(t)+iy(t)) (x'(t)+iy'(t)) dt \)
Exemple:
Soit \(f(z)=z^2\) (on sait que \(f\) est holomorphe sur \(\mathbb{C}\) ) et soit \( (\gamma) \) le cercle de centre \(O\) et de rayon 1 (cercle trigonométrique), donc un contour fermé.
Alors la paramétrisation de \( (\gamma) \) donne \(z(t)=e^{it}\) et donc \(z'(t)=ie^{it}\).
\( \displaystyle \int_{(\gamma)} f(z) dz = \int_0^{2\pi} f(z(t)) z'(t) dt \) \( = \displaystyle \int_0^{2\pi} e^{i2t} i e^{it} dt = \dfrac{i}{3i} \bigl[ e^{3it} \bigr]_0^{2\pi} =0\)
Théorème de Cauchy:
Si \( (\gamma) \) est un contour fermé et si \(f\) est holomorphe sur \( (\gamma) \) et à l'intérieur de \( (\gamma) \), alors:.
\( \displaystyle \int_{(\gamma)} f(z) dz = 0 \)
Exercices
9) Transformée de Laplace
La transformée de Laplace monolatérale d'une fonction \(f\) d'une variable réelle \(t\), à support positif, est la fonction \(F\) de la variable complexe \(p\), définie par :
\(F(p)=\mathcal L \{f\}(p)=\displaystyle \int_0^{+\infty} f(t) e^{-pt} \ dt\).
L'inversion de la transformation de Laplace s'effectue par:
\(f(t)=\displaystyle \sum_{k=1}^n Res(F(p)e^{pt}, p_k) \), où \(p_k\) sont les pôles de \(F(p)\)
| \(f(t)\) | \(F(p)\) |
|---|---|
| \(\delta (t)\) | \(1\) |
| \(u(t)=1\) | \(\dfrac{1}{p}\) |
| \(t^n\) | \(\dfrac{n!}{p^{n+1}}\) |
| \(e^{-at}\) | \(\dfrac{1}{p+a}\) |
| \(te^{-at}\) | \(\dfrac{1}{(p+a)²}\) |
| \(\sin (\omega t)\) | \(\dfrac{\omega}{p^2 + \omega²}\) |
| \(\cos (\omega t)\) | \(\dfrac{p}{p^2 + \omega²}\) |
| \(e^{-at}f\) | \(F(p+a)\) |
| \(e^{-at}\sin (\omega t)\) | \(\dfrac{\omega}{(p+a)^2 + \omega²}\) |
| \(e^{-at}\cos (\omega t)\) | \(\dfrac{p+a}{(p+a)^2 + \omega²}\) |
| \(\sinh (\omega t)\) | \(\dfrac{\omega}{p^2 -\omega²}\) |
| \(\cosh (\omega t)\) | \(\dfrac{p}{p^2 -\omega²}\) |
| \(f'(t)\) | \(pF(p) - f(0)\) |
| \(f''(t)\) | \(p²F(p) - pf(0) -f'(0)\) |
La transformée de Laplace est notamment utilisée pour résoudre des équations différentielles.
Exemple:
\( \left\{ \begin{array}{lll} x''(t)-3x'(t)+2x(t)=4 e^{3t} \\ x(0)=4\\ x'(0)=9 \end{array} \right. \)
\(\mathcal L \{x''(t)\} -3\mathcal L \{x'(t)\}+2\mathcal L \{x(t)\} =4 \mathcal L \{e^{3t} \} \), d'où:
\(p² X(p)-px(0)-x'(0)-3[pX(p)-x(0)]\) \(+\) \(2X(p)=\dfrac{4}{p-3}\), d'où:
\( X(p) (p² -3p+2)=\dfrac{4}{p-3} + 4p-3 \), d'où:
\( X(p) (p-1)(p-2)=\dfrac{4p²-15p+13}{p-3} \), d'où:
\( X(p)=\dfrac{4p²-15p+13}{(p-1)(p-2)(p-3)} \)
La décomposition en éléments simples donne:
\( X(p)=\dfrac{1}{p-1}+\dfrac{1}{p-2}+\dfrac{2}{p-3} \), donc:
\(x(t)=e^t + e^{2t} + 2e^{3t}\)
Attention, la décomposition en éléments simples n'est pas toujours ... simple. Il est alors préférable d'utiliser la méthode des résidus.
On a \( F(p)=\dfrac{4p²-15p+13}{(p-1)(p-2)(p-3)} \), les pôles de \( F(p) \) sont donc \( p_1=1; p_2=2; p_3=3 \).
\(f(t)=Res(F(p)e^{pt},1)+Res(F(p)e^{pt},2)+\) \(Res(F(p)e^{pt},3)\), avec \(F(p)e^{pt}=\dfrac{(4p²-15p+13)e^{pt}}{(p-1)(p-2)(p-3)}\) qui est de la forme \(\dfrac{P(z)}{Q(z)}\).
Rappel: lorsqu'on a un pôle simple \(z_0\), \( Res(F(p)e^{pt},z_0)= \dfrac{P(z_0)}{Q'(z_0)} \).
Donc:
\( Res(F(p)e^{pt},1)= \dfrac{(4-15+13)e^t}{2}=e^t \)
\( Res(F(p)e^{pt},2)= \dfrac{(16-30+13)e^2t}{-1}=e^{2t} \)
\( Res(F(p)e^{pt},3)= \dfrac{(36-45+13)e^3t}{2}=2e^{3t} \)
enfin, \(f(t)=e^t + e^{2t} + 2e^{3t}\).
10) Transformée de Fourier
Définition:
La transformation de Fourier \(\mathcal F \) est une opération qui transforme une fonction intégrable sur \(\mathbb{R}\) en une autre fonction, décrivant le spectre fréquentiel de cette dernière.
Si \(f\) est une fonction intégrable sur \(\mathbb{R}\), sa transformée de Fourier est la fonction \(\mathcal F (f)= \hat{f} \) donnée par :
\( \displaystyle \hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t}dt \)
Quelques résultats importants:
➨\( \displaystyle \mathcal F (g') = \omega i \mathcal F (g) \) où \( \omega = 2\pi f \)
➨\( \displaystyle \mathcal F (\Pi) (f)= \dfrac{\sin (\pi f)}{\pi f} \) où \( \Pi \) est la fonction porte
➨\( \displaystyle \mathcal F (tri) (f)= (\dfrac{\sin (\pi f)}{\pi f})^2 \) où \( tri \) est la fonction triangle
Définition:
Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\), leur produit de convolution \(f⋆g\) est défini par:
\(\displaystyle f⋆g(x) = \int_{-\infty}^{-\infty} f(x-t)g(t)dt\)
Quelques résultats importants:
➨\( \displaystyle \mathcal F (f⋆g) = \mathcal F (f) \times \mathcal F (g) \).
11) Changement de variable
11.1) Régles de Bioche
• si \(f(-x)=-f(x)\), effectuer le changement de variable \(t=\cos (x)\)• si \(f(\pi-x)=-f(x)\), effectuer le changement de variable \(t=\sin (x)\)
• si \(f(\pi + x)=f(x)\), effectuer le changement de variable \(t=\tan (x)\)
• si deux des trois relations précédentes sont vraies (dans ce cas les trois relations sont vraies), un changement de variable judicieux est \(t = \cos(2x)\)
• dans les autres cas, le changement de variable \(t = \tan(x/2) \) s'avère souvent judicieux
Soient \(I\) et \(J\) deux intervalles de \(\mathbb{R}\), \(f∈C^0(I,C) \) et \( φ∈C^1(J,I) \).
Alors : \( \displaystyle \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) dx = \int_a^b f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt \)
Cette relation peut se lire dans les deux sens.
11.3) Propriété du roi
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a;b]\).
La propriété du roi stipule que :
\( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx \)
On procède à un changement de variable : \(x=a+b−t\) et donc \(dx=−dt\).
\( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{b}^a f(a+b-t) (-dt) \)
\( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^b f(a+b-t) dt \)
1)
\(I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin^5(x)}{\sin^5(x)+\cos^5(x)} dt\)
\(I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin^5(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin^5(\frac{\pi}{2}-x)+\cos^5(\frac{\pi}{2}-x)} dt\)
\(I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\cos^5(x)}{\cos^5(x)+\sin^5(x)} dt\)
Donc:
\(I+I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 dt\)
\(I+I= \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6} \)
\(I= \dfrac{\pi}{12} \)