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\begin{document}

\lhead{http://praboum.free.fr}
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\rhead{immobilier.pdf}
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\fancyfoot[L]{version du 15 janvier 2013}
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\underline{Objectif 1:} déterminer la mensualité m qu'on aura à payer si l'on effectue un emprunt d'un capital $C$ à un taux $t$ qu'on décide de rembourser en $n$ mois.\\
Somme finale payée $=$ Capital emprunté $+$ intérêts, soit:\\
mensualité $*$ nombre de mensualités $=$ Capital emprunté $+$ somme des intérêts de chaque mois, soit encore:\\
$$nm=C+\sum_{i=1}^{n}\frac{t}{12}C_{i}$$
où: \\
\\
$
\left\{
    \begin{array}{ll}
        n=$ le nombre de mensualité$  \\

        m=$ la mensualité$  \\

        C=$ le capital emprunté$  \\

        t=$ le taux annuel$  \\

        C_{i}=$ le capital restant dû au ième mois$  \\

    \end{array}
\right.
$
\\\\
Avec cette définition de $C_{i}$, on peut écrire $C_{1} = C$ et $C_{i+1} = C_{i} - (m - \frac{t}{12}C_{i}) = C_{i}(1+\frac{t}{12}) - m$ \\

Or les mathématiques montrent (la démonstration par récurrence est évidente) que si une suite ($U_{n}$) peut s'écrire $U_{n+1}= aU_{n} +b$ pour $n \geq n_{0}$, alors: $$U_{n} = \frac{b}{1-a} + a^{n-n_{0}} (U_{n_{0}} - \frac{b}{1-a})$$

En l'appliquant à notre cas, on obtient:\\

$C_{i} = \frac{12m}{t} + (1+\frac{t}{12})^{i-1} (C - \frac{12m}{t}) \hspace{1cm}$ avec $\hspace{1cm}i  \geq 1 \hspace{1cm}(1)$\\

\underline{Première méthode} (la plus simple):\\

Après avoir payé le nième mois (dernier mois), le capital restant à rembourser est nul, c'est-à-dire $C_{n+1}=0$, ce qui revient à écrire:\\
$0 = \frac{12m}{t} + (1+\frac{t}{12})^n (C - \frac{12m}{t})$, d'où on obtient: $\boxed{m = \frac{Ct/12}{1-(1+t/12)^{-n}}} \hspace{2cm}(2)$\\

\underline{Deuxième méthode:}\\

En partant de (1) on a: $\frac{t}{12}C_{i} = m + (1+\frac{t}{12})^{i-1} (\frac{Ct}{12} - m)$\\
d'où:
$$\sum_{i=1}^{n} \frac{t}{12}C_{i} = nm + (\frac{Ct}{12} - m) \sum_{i=0}^{n-1} (1+\frac{t}{12})^i=nm + (\frac{Ct}{12} - m)(\frac{1-(1+t/12)^n}{-t/12})...car \sum_{i=0}^{n-1}q^i=\frac{1-q^n}{1-q}$$\\
$$0=C+ (\frac{Ct}{12} - m)(\frac{1-(1+t/12)^n}{-t/12})$$\\
$\frac{Ct}{12} - m = (\frac{Ct/12}{1-(1+t/12)^n})$, soit $m = \frac{Ct}{12}(1- \frac{1}{1-(1+t/12)^n})=-\frac{Ct}{12}(\frac{(1+t/12)^n}{1-(1+t/12)^n})$ qui donne le résultat encadré.\\

\newpage

\underline{Objectif 2:} déterminer la part des intérêts par rapport au capital emprunté. \\
Les intérêts valent donc:
$nm - C = \frac{nCt/12}{1-(1+t/12)^{-n}} - C = C(\frac{nt/12}{1-(1+t/12)^{-n}}-1)$

Le rapport intérêts/(capital emprunté) vaut donc:
$$\boxed{\frac{nm -C}{C}= \frac{nt/12}{1-(1+t/12)^{-n}}-1}$$

...à étudier avec un tableau de variations et/ou des graphiques, voir la suite.\\
Posons $f_{t}(n)=\frac{nm -C}{C}=\frac{nt/12}{1-(1+t/12)^{-n}}-1$, et posons aussi $t_{2}=2\%=0.02$, $t_{3}=3\%=0.03$, $t_{4}=4\%=0.04$, $t_{5}=5\%=0.05$
\\
Voici un aperçu des variations de ce rapport pour 4 taux:\\
$$
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
  grid=both,
  legend pos=north west,
  title=intérêts/(capital emprunté),  
  %xlabel=n (duree du pret en mois),
  ytick={0,0.1,...,1},
  xtick={0,60,...,360},
  ymin=0, ymax=1,
  xmin=0, xmax=360,
  xlabel=$n$,
  %ylabel=rapport interets/capital emprunte
  ylabel={\large $f_t(n)$},
  ]


\addplot[color=red,smooth,domain=10:360,samples=20,] {(0.05*x/12)/(1-(1+0.05/12)^(-x))-1};
\addlegendentry{$f_{t_5}$}
\addplot[color=blue,smooth,domain=10:360,samples=20,] {(0.04*x/12)/(1-(1+0.04/12)^(-x))-1};
\addlegendentry{$f_{t_4}$}
\addplot[color=green,smooth,domain=10:360,samples=20,] {(0.03*x/12)/(1-(1+0.03/12)^(-x))-1};
\addlegendentry{$f_{t_3}$}
\addplot[color=black,smooth,domain=10:360,samples=20,] {(0.02*x/12)/(1-(1+0.02/12)^(-x))-1};
\addlegendentry{$f_{t_2}$}

\end{axis}
\end{tikzpicture}
$$
\\
\underline{Objectif 3:} déterminer la valeur des intérêts en fonction du mois, du taux et du capital emprunté.\\
\\
A partir de $(1)$ en remplaçant $m$ on obtient:\\
\\
$C_i=\frac{C}{1-(1+t/12)^{-n}}+(1+t/12)^{i-1}C(1-\frac{1}{1-(1+t/12)^{-n}})$ d'où on obtient:\\
%$$C_i=C \frac{1-(1+t/12)^{i-n-1}}{1-(1+t/12)^{-n}} \hspace{2cm}(3)$$\\
$$\boxed{C_i=C \frac{1-(1+t/12)^{i-n-1}}{1-(1+t/12)^{-n}}} \hspace{2cm}(3)$$\\
Ce résultat nous permet de calculer directement la valeur des intérêts pour un mois donné sans avoir à calculer les intérêts pour tout les mois précedents. Au passage, on vérifie bien que $C_1=C$ et $C_{n+1}=0$. Notamment, il permettra (même si ce n'est pas indispensable) d'établir un tableau d'amortissement qui sera l'objectif 4.\\
\end{document}
